Ciekawostki

Trójkąt pitagorejski

Trójkąt pitagorejski to trójkąt prostokątny, którego długości boków

są wyrażone liczbami naturalnymi.

Przykłady trójkątów pitagorejskich: 

Jeśli pomnożymy długości boków każdego z tych trójkątów przez dowolną liczbę naturalną to otrzymamy również trójkąty pitagorejskie. 

Trójkąt egipski

Trójkąt o bokach 3, 4, 5 to jedyny trójkąt prostokątny, którego długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi. Nazywa się go trójkątem egipskim, ponieważ był używany przez Egipcjan do wyznaczania kąta prostego w terenie.

Słuszny podział zapłaty

Dwaj arabowie wędrowali przez pustynię. Do najbliższej oazy było jeszcze pół drogi. Z zapasów żywności pozostało im tylko 8 sucharów: 3 należały do jednego, 5 do drugiego. Spotkali na drodze samotnego podróżnego wycieńczonego głodem. Ulitowali się nad nim i wspólnie z nim spożyli swe zapasy. Przy rozstaniu ów podróżny, by okazać im wdzięczność, wręczył przygodnym kompanom tytułem zapłaty 8 jednakowych złotych monet.
Przy podziale doszło do kłótni. Arab bowiem, który miał pięć sucharów, zażądał dla siebie 5 złotych monet, tymczasem jego towarzysz chciał otrzymać 4 monety twierdząc nie bez słuszności, że obaj przyczynili się do uratowania życia głodnego podróżnego.
Nie mogąc się zgodzić na sposób podziału, po przybyciu do oazy zwrócili się do kadiego, miejscowego sędziego, z prośbą, by spór ich rozstrzygnął. Ten zawyrokował w sposób dla obu nieoczekiwany:
- Jesteście obaj w błędzie. Przypuśćmy, że każdy z waszych sucharów podzieliliście na trzy części; w ten sposób otrzymaliście 24 części. Dalej przypuśćmy, że każdy z was spożył 8 części. Ten który miał 5 sucharów, to jest 15 części, oddał trzeciemu podróżnemu 7 części, a jego towarzysz ze swoich 3 sucharów ujął tylko 1 część. Z tego wynika, że monety powinny być tak podzielone: 7 monet należą się jednemu z was, a tylko jedna drugiemu.   

Ilość włosów na głowach ludzkich

Znany filozof XVII wieku Piotr Nicole w rozmowie z pewną paryżanką żartobliwie zapewnił, że może się z nią założyć i wykazać, iż w Paryżu przynajmniej dwie osoby mają tę samą ilość włosów, chociaż wskazać tych osób nie byłby w możności. Pani ta jednak z całą stanowczością odrzekła, że wówczas zostałaby dopiero przekonana gdyby mogła u tych osób zliczyć włosy...
- Przypuszczam - rozpoczął swe rozumowanie ów filozof - że głowa z najpiękniejszym uwłosieniem nie ma więcj nad 200 000 włosów, a z najuboższym uwłosieniem - jeden włos! Jeżeli teraz przypuścimy że z 200 000 osób każda ma inną ilość włosów to musimy przyjąć że każda z tych głów ma liczbę włosów zawierającą się w przedziale od jedności do 200 000.

Gdyby bowiem przypuścić że chociaż dwie osoby z pośród tych 200 000 mają jednakowe ilości włosów, zakład tym samym byłby już przeze mnie wygrany. A więc jeśli przyjmiemy, że z pośród 200 000 osób każda ma inną ilość włosów to dodając jeszcze jednego mieszkańca, którego owłosienie głowy nie przekracza 200 000 włosów, z konieczności musimy stwierdzić, że liczba jego włosów - jakakolwiek jest - musi się znaleść między jednością a 200 000. Innymi słowy liczba włosów dwustutysięcznej pierwszej głowy będzie się równała liczbie włosów posiadanych przez jedną z dwustu tysięcy osób. Jeśli zaś w Paryżu jest 800 000 głów to łatwo przewidzieć, że będzie wśród nich wiele głów o jednakowej ilości włosów, tylko że ja ich nie liczyłem. Podobno uparta niewiasta uznała rozumowanie filozofa za zbyt filozoficzne i skomplikowane i nie chciała uznać się za przekonaną. 

Kalendarz

W starożytności ludzie starali się uchwycić czas. Zauważali wschód i zachód Słońca, jego pozorną dzienną wędrówkę po niebie, powtarzającą się w różnych porach roku. W wyniku tych spostrzeżeń powstała jednostka służąca do pomiaru czasu, jaką jest doba. Dwa inne zjawiska zachodzące powtarzalnie, lecz w powolniejszym tempie, to miesięczny ruch Księżyca i roczny ruch Słońca, które były wykorzystane do zliczania następujących po sobie dni. Na nich oparto rachubę kalendarzową. Tak powstały systemy kalendarzowe. Za kalendarz uważa się zatem system podziału czasu na dłuższe i krótsze jednostki, takie jak: dni, miesiące, lata oraz ich uporządkowanie w określony sposób. 

Istnieją trzy grupy kalendarzy: słoneczne, księżycowe i księżycowo-słoneczne. Podstawą pierwszych jest astronomiczny okres obiegu Ziemi wokół Słońca, tzw. rok zwrotnikowy. Kalendarze księżycowe liczą miesiące synodyczne, czyli okresy powtarzania się faz Księżyca. Ponieważ średnia długość miesiąca synodycznego wynosi 29,53 dni, to dzień nowego roku cofa się dość szybko po datach naszego kalendarza przez wszystkie pory roku. Aby wyhamować takie cofanie się dat kalendarzowych względem pór roku w kalendarzach księżycowo-słonecznych co kilka lat wprowadza się dodatkowy miesiąc przestępny. 

                                     

Podstawową jednostką jest doba, która wyznacza czas, w jakim Ziemia wykonuje pełny obrót wokół własnej osi. Miesiąc jest kalendarzową jednostką czasu, w jakim księżyc kończy pełny cykl zmienności faz. Z kolei rokiem nazywamy okres czasu, w jakim Ziemia okrąża Słońce.

Palindrom

Liczbę naturalną, którą czyta się tak samo od początku i od końca nazywamy palindromem. 

 Przykłady liczb palindromicznych: 55, 494, 30703, ...

 

Kwadrat magiczny

Magiczne kwadraty to liczby tak ułożone, że suma każdej kolumny i rzędu jest równa tej samej liczbie. Magiczne kwadraty mogą składać się z czterech lub więcej pól. Najpopularniejsze mają zazwyczaj 9 lub 16 pól. Magiczne kwadraty należą do najstarszych znanych łamigłówek. W XV wieku zainteresowanie tymi łamigłówkami rozpowszechniło się z Chin do Europy.

Kwadrat magiczny z matematycznego punktu widzenia to macierz kwadratowa, w której suma liczb w kolumnach wierszach i obu przekątnych jest taka sama. Taka suma jest nazywana sumą magiczną. Kwadratów magicznych jest nieskończenie wiele. 

Tak zwany "Idealny Kwadrat" stworzył ok. 2800 roku p.n.e. chiński filozof i budowniczy Lo Shu, tworząc tym samym podwaliny sztuki Feng Shui. Jego kwadrat składa się z dziewięciu pól z wpisanymi liczbami od 1 do 9.

Żydowscy badacze pisma także stworzyli na swój użytek magiczny kwadrat. W odróżnieniu od chińskiego, zbudowany był wyłącznie z nieparzystych liczb, a ich literowe odpowiedniki miały składać się na imię Boga. Te litery, wypisane w formie magicznego kwadratu na pergaminie, miały moc uzdrawiania, a nawet powoływania do życia martwych.

W IX wieku naszej ery, tajemnicę Magicznego Kwadratu poznali Arabowie, a do Europy wiedza o nim dotarła, za sprawą mieszkającego w Konstantynopolu Greka - Moscopulosa - dopiero w XIV wieku. Sto lat póĽniej w swoich obliczeniach i badaniach wykorzystywał go jeden z najsłynniejszych ówczesnych magów - Korneliusz Agryppa (1486 1535).

W Europie Magiczny Kwadrat, symbolizujący porządek świata, stał się poszukiwanym talizmanem. Ale nie tylko interesowali się nim alchemicy. W czasach nowożytnych, ten fenomenalny układ zaintrygował matematyków. Twórcami i teoretykami rozpraw na jego temat byli tak wielcy naukowcy jak: Frenicle de Bessy, który opisał aż 880 magicznych kwadratów zbudowanych z 16 pól, Pierre Fermat i wielu innych.

Na czym polega magia Magicznych Kwadratów? Jest to matematyczny szyfr, a kontemplacja "doskonałego" układu liczb wzmacnia koncentrację, pozwala szybciej uszeregować myśli oraz pomaga w szybkim kojarzeniu różnych faktów. 

Liczby doskonałe

   Liczba doskonała to liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej. Liczbami doskonałymi są 6, 28, 496...

Pierwsze przebłyski geniuszu

Ciekawą anegdotę z lat chłopięcych sławnego matematyka Karola Gaussa przytaczają jego biografowie.
Oto Karolek, gdy ukończył lat siedem, oddany został według zwyczaju do szkoły początkowej. Rachunków uczył w tej szkole człowiek starszy wiekiem, znany ze swej surowości. Nieraz mając do przejrzenia ćwiczenia uczniów z innych oddziałów ułatwiał sobie pracę w ten sposób, że dawał chłopcom zadanie nieco trudniejsze, które dziatwa musiała w zupełnym milczeniu samodzielnie rozwiązać. Umówiono się przy tym, że każdy z chłopców rozwiązawszy zadanie odniesie zeszyt nauczycielowi i położy go na katedrze.
Na którejś lekcji nauczyciel podyktował chłopcom następujące zadanie: Znaleść sumę wszystkich liczb od 1 do 40.
Nauczyciel był pewien, że większą część lekcji uczniowie zajęci będą obliczaniem. Jakież było jego zdziwienie, gdy w chwilę po napisaniu treści zadania na tablicy usłyszał wesoły okrzyk:
- Już skończyłem!
W tej chwili przed nauczycielem na katedrze znalazł się zeszyt opatrzony napisem: Karol Gauss. Rozgniewany nauczyciel sądząc, że ma do czynienia z uczniowskim wykrętem, mruknął pod nosem nie przerywając swej pracy:
- Oduczę ja cię, smyku, podobnych sztuczek. Poczekaj tylko!
Tymczasem Karolek zadowolony i pewny siebie powrócił na swe miejsce w ławce i czekał na rozpoczęcie poprawki. Wreszcie po długich obliczeniach wszyscy uczniowie złożyli na katedrze swe zeszyty. Nauczyciel zabrał się do ich poprawiania. Większość uczniów mimo długich obliczeń podała wynik błędny, w zeszycie zaś Gaussa figurowała jedna tylko liczba - i ta była prawidłowa...
Mały Gauss usłyszawszy podyktowane przez nauczyciela zadanie błyskawicznie zorientował się w jego rozwiązaniu. Oto schematycznie przedstawiony proces rozumowania, jaki odbył się w młodocianej główce:

1	2	3	4	...	20
40	39	38	37	...	21
41,	41,	41,	41,	...	41

Największa i najmniejsza liczba ciągu dają w sumie 41. To samo otrzymamy dodając drugą z kolei liczbę ciągu do drugiej od dołu; ten sam też wynik uzyskamy dodając trzecią największą w ciągu do trzeciej najmniejszej i tak dalej. Jako wynik tego spostrzeżenia pomnożył chłopiec w myśli 20 · 41 i wypisał tylko jedyną liczbę: 820.
Nauczyciel był człowiekiem rozumnym. Poznał, że ma przed sobą dziecko o zdumiewających zdolnościach, zajął się nim z całym oddaniem, lecz wkrótce z prostotą cechującą ludzi rozsądnych musiał stwierdzić, że uczeń już nic od nauczyciela swego nauczyć się nie może.

Historia liczb

30 000 p.n.e.	Obecność nacięć numerycznych
3300 p.n.e	Pierwsze cyfry w Sumerze i Elamie. Pojawienie hieroglifów egipskich - pierwsza numeracja pisma
2700 p.n.e	Sumeryjckie cyfry klinowe
2600 p.n.e	Pojawienie się cyfr egipskich
2000 p.n.e	Pojawienie się bazy dziesiętnej
1800 p.n.e	Numeracja babilońska - pierwsza numeracja pozycyjna
1300 p.n.e	Pojawienie się cyfr chińskich
VI w. p.n.e	Odkrycie wartości niewymiernych. Pitagoras
III w. p.n.e	Grecka numeracja alfabetyczna Pojawienie się zera w numeracji babilońskiej
II w. p.n.e	Chińska numeracja pozycyjna bez zera Pojawienie się cyfr brahmi - indyjskich
IV w. n.e	Indyjska numeracja pozycyjna. Numeracja dziesiętna z zerem.
V w. n.e	Numeracja pozycyjna Majów z zerem
VIII w. n.e	Wprowadzenie indyjskiej dziesiętnej numeracji pozycyjnej i zera na ziemiach islamu.
XII w.	Wprowadzenie znaku zero na Zachodzie
XIII w.	Pojawia się pojęcie ciągu. Fibonacci
XV w.	Cyfry indyjsko-arabskie uzyskują formę graficzną i rozpowszechniają się na Zachodzie
XVI w.	Początki używania ułamków okresowych. Bombelli. Bombelli i Cardan formuują pojęcie liczb zespolonych
1638 r.	Sformuowanie pojęcia zbioru nieskończonego. Galileusz
1797 r.	Gauss przedstawia liczby zespolone jako punkty na płaszczyĽnie
1820 r.	Zostaje sformuowana moc zbioru. Bolzano
1825 r.	Odkrycie liczb algebraicznych. Abel
1843 r.	Odkrycie kwaternionów. Hamilton
1844 r.	Odkrycie liczb przestępnych. Liouville

Co może się zdarzyć w ciągu 0,001 sekundy?

Pociąg jadący z prędkością 36 km na godzinę przejedzie 1 cm.

• Samolot przeleci 10 cm.
  
  

  

  
  
  
  
  
  Głos przebywa 33 cm, kula z pistoletu 70 cm,
  a Ziemia przebywa 30 metrów.
  
  Błyskawica nierzadko trwa krócej a rozciąga się na wiele kilometrów!
  

  

 Jak duży jest milion?

Komar powiększony milion razy będzie miał 5 kilometrów długości.
Zwykły zegarek kieszonkowy powiększony milion razy będzie miał 50 kilometrów średnicy.

Człowiek powiększony milion razy
będzie miał 1700 kilometrów wzrostu.

Milion ludzi, ustawionych ramię
przy ramieniu, zajmie całe wybrzeże polskie (około 500 km).

Milion kroków to podróż z Warszawy do Poznania
i z powrotem.

Książka o milionie stronic miałaby grubość równą 50 m.

Od początku naszej ery nie upłynął jeszcze pierwszy milion dni; stanie się to za około 800 lat!

Włos ludzki powiększony na grubość milion razy, będzie miał w średnicy 70 metrów.

A bilion?

Włos ludzki powiększony bilion razy byłby
6-krotnie grubszy od globu ziemskiego.

Komar powiększony bilion razy byłby 50 razy większy od Słońca.


Milion sekund upływa w niespełna dwa tygodnie, ale bilion sekund to ponad 30 000 lat!